Question

20．已知函数f（x）=x²-x+1，g（x）=2x⁴-18x²+12x+68．
（1）如果不等式f（x）≥ax²+a对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在正实数M，使得不等式f（x）+$\sqrt{g（x）}$≥M对任意的x∈R恒成立，求出M的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数恒成立，利用参数分离法进行求解即可．
（2）根据函数表达式，转化为点到直线的距离和点到点的距离进行求解即可．

解答 解：（1）若f（x）≥ax²+a对任意的x∈R恒成立，
即x²-x+1≥ax²+a对任意的x∈R恒成立，
即（1-a）x²-x+1-a≥0恒成立，
若a=1，则不等式等价为-x≥0，则x≤0，不满足条件．
若a≠1，则等价为$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{△=1-4（1-a）^{2}≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{（a-1）^{2}≥\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即a-1≤-$\frac{1}{2}$，即a≤1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
即实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．
（2）令y=f（x）+$\sqrt{g（x）}$，则$\frac{y}{\sqrt{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-5）^{2}+（x+3）^{2}}$
$\frac{{x}^{2}-x+1}{\sqrt{2}}$表示抛物线x=y²上的动点（x²，x）到直线l：x-y+1=0的距离，$\sqrt{（{x}^{2}-5）^{2}+（x+3）^{2}}$表示抛物线x=y²上的动点（x²，x）到点M（5，-3）的距离，
则=$\frac{{x}^{2}-x+1}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-5）^{2}+（x+3）^{2}}$表示抛物线x=y²上的动点（x²，x）到直线l：x-y+1=0的距离与到点M（5，-3）的距离之和，
则最小值为M到y-x+1=0的距离d=$\frac{|-3-5+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{y}{\sqrt{2}}$≥$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，即y≥$\frac{7\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=7，
即M≤7，即M的最大值为7．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．