Question

13．函数f（x）=$\frac{x-{x}^{3}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$的值域为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 求导f′（x）=$\frac{（1-3{x}^{2}）（{x}^{2}+1）^{2}-（x-{x}^{3}）2（{x}^{2}+1）2x}{（{x}^{2}+1）^{4}}$，从而确定函数的驻点，从而求函数的值域．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x-{x}^{3}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，

∴f′（x）=$\frac{（1-3{x}^{2}）（{x}^{2}+1）^{2}-（x-{x}^{3}）2（{x}^{2}+1）2x}{（{x}^{2}+1）^{4}}$，
令f′（x）=0得（3x²-1）（x²+1）²-（x³-x）•2•（x²+1）•2x=0，
∴（3x²-1）（x²+1）-4x²（x²-1）=0，
整理可得x⁴-6x²+1=0，
解得x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$-1，x₃=-1-$\sqrt{2}$，x₄=1-$\sqrt{2}$，
∴f（x₁）=-$\frac{1}{4}$，f（x₂）=$\frac{1}{4}$，f（x₃）=$\frac{1}{4}$，f（x₄）=-$\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）=$\frac{x-{x}^{3}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$的值域为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]；
故答案为：[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了导数的综合应用．