Question

1．设a，b，c，d均是非负实数且满足ab+bc+cd+da=1，求证：$\frac{{a}^{3}}{b+c+d}$+$\frac{{b}^{3}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{3}}{a+b+d}$+$\frac{{d}^{3}}{a+b+c}$≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通过权方和不等式及均值不等式可知左边≥$\frac{1}{4}$•$\frac{（a+b+c+d）^{3}}{3（a+b+c+d）}$=$\frac{1}{12}$•[（a+c）+（b+d）]²，再利用基本不等式计算即得结论．

解答 证明：由权方和不等式及均值不等式得：
左边≥$\frac{1}{4}$•$\frac{（a+b+c+d）^{3}}{3（a+b+c+d）}$
=$\frac{1}{12}$•（a+b+c+d）²
=$\frac{1}{12}$•[（a+c）+（b+d）]²
≥$\frac{1}{12}$•$[2\sqrt{（a+c）（b+d）}]^{2}$
=$\frac{1}{3}$•（a+c）（b+d）
=$\frac{1}{3}•$（ab+bc+cd+da）
=$\frac{1}{3}$
=右边，
即不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，利用权方和不等式、均值不等式及基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．