Question

4．已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$}，求不等式cx²+bx+a＜0的解集．

Answer 1

分析 由于不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$}，所以-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$是方程ax²+bx+c=0的两根，且a＜0，利用根与系数的关系可把不等式cx²+bx+a＜0化为二次不等式即可解出．

解答 解：因为不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$}，
所以，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$是方程ax²+bx+c=0的两根，且a＜0．
∴-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=-$\frac{b}{a}$，-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{c}{a}$=-$\frac{1}{6}$．
不等式cx²+bx+a＜0可化为$\frac{c}{a}$x²+$\frac{b}{a}$x+1＞0，
∴-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{6}$x+1＞0，
∴x²-x-6＜0，
∴（x+2）（x-3）＜0，
∴-2＜x＜3．
因此，不等式cx²+bx+a＜0的解集为{x|-2＜x＜3}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．