在某次水下考古活动中.需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面:①下潜时.平均速度为v.单位时间内用氧量为cv2,②在水底作业需5个单位时间.每个单位时间用氧量为0.4,③返回水面时.平均速度为$\frac{v}{2}$.单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中.总用氧量为y．(1)将y表示为v的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为cv²（c为正常数）；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为$\frac{v}{2}$（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．
（1）将y表示为v的函数；
（2）设0＜v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最小，并求y的最小值．

分析（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；
（2）利用基本不等式可得v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$时取等号，再结合0＜v≤5，即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

解答解：（1）潜入水底用时$\frac{30}{v}$，用氧量为$\frac{30}{v}$•cv²=30cv，
水底作业时用氧量为5×0.4=2，
返回水面用时$\frac{60}{v}$，用氧量为$\frac{60}{v}$•0.2=$\frac{12}{v}$，
∴总用氧量y=30cv+2+$\frac{12}{v}$（v＞0）；
（2）y=30cv+2+$\frac{12}{v}$≥2+2$\sqrt{30cv•\frac{12}{v}}$=2+12$\sqrt{10c}$，
当且仅当30cv=$\frac{12}{v}$，即v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$时取等号
当$\sqrt{\frac{2}{5c}}$≤5，即c≥$\frac{2}{125}$时，v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$时，
y的最小值为2+12$\sqrt{10c}$，
当$\sqrt{\frac{2}{5c}}$＞5，即c＜$\frac{2}{125}$时，y′=$\frac{30c{v}^{2}-12}{{v}^{2}}$＜0，
∴函数在（0，5]上为减函数，
∴v=5时，y的最小值为150c+$\frac{22}{5}$．
综上，当c≥$\frac{2}{125}$时，下潜速度为v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$时，用氧量最小值为2+12$\sqrt{10c}$；
当c＜$\frac{2}{125}$时，下潜速度为5时，用氧量最小值为150c+$\frac{22}{5}$．

点评本题考查函数最值的求法，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．