Question

19．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，g（x）=3x²+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a²-3b有最小值．
正确结论的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x²+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x²+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．

解答 解：函数f（x）=x³+ax²+bx+c在（0，1）上单调递减，
但f（0），f（1）的符号不能确定，
故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；
由f′（x）=3x²+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
即g（x）=3x²+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
故g（0）≤0，且g（1）≤0，
故②g（0）•g（1）≥0一定正确；
由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，
令Z=a²-3b，则b=$\frac{1}{3}$（a²-Z），
当b=$\frac{1}{3}$（a²-Z）过（-$\frac{3}{2}$，0）点时，Z取最小值$\frac{9}{4}$
故③正确；
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．