Question

8．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是1＜a＜3．

Answer 1

分析 将不等式变形为[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0的解集中的整数恰有4个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为$\frac{-b}{a-1}$＜x＜$\frac{b}{a+1}$＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．

解答 解：关于x 的不等式（x-b）²＞（ax）² 即 （a²-1）x²+2bx-b²＜0，
∵0＜b＜1+a，
[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有4个，∴a＞1，
∴不等式的解集为$\frac{-b}{a-1}$＜x＜$\frac{b}{a+1}$＜1，所以解集里的整数是-3，-2，-1，0 三个
∴-4≤$\frac{-b}{a-1}$＜-3，
∴2a-2＜b≤4a-4，
∵b＜1+a，
∴2a-2＜1+a，
∴a＜3，
综上，1＜a＜3，
故答案为1＜a＜3．

点评 本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．