Question

10．若存在x₀＞1，使不等式（x₀+1）ln  x₀＜a（x₀-1）成立，则实数a的取值范围是 （　　）

• A． （-∞，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 若存在x₀＞1，使不等式（x₀+1）ln x₀＜a（x₀-1）成立，则存在x₀＞1，使不等式a＞$\frac{（{x}_{0}+1{）lnx}_{0}}{{x}_{0}-1}$成立，令f（x）=$\frac{{（{x}_{\;}+1）lnx}_{\;}}{{x}_{\;}-1}$=（1+$\frac{2}{x-1}$）lnx，x＞1，求出函数的极限，可得数a的取值范围．

解答 解：若存在x₀＞1，使不等式（x₀+1）ln x₀＜a（x₀-1）成立，
则存在x₀＞1，使不等式a＞$\frac{（{x}_{0}+1{）lnx}_{0}}{{x}_{0}-1}$成立，
令f（x）=$\frac{{（{x}_{\;}+1）lnx}_{\;}}{{x}_{\;}-1}$=（1+$\frac{2}{x-1}$）lnx，x＞1，
此时f（x）为增函数，
由$\lim_{x→1}f（x）$=$\lim_{x→1}lnx$+$\lim_{x→1}\frac{2lnx}{x-1}$=$\lim_{x→1}\frac{2lnx}{x-1}$→2
故a＞2，
即实数a的取值范围是（2，+∞），

点评 本题考查的知识点是函数存在性问题，函数的单调性，极限运算，难度中档．