Question

已知向量

m

=（-

1

2

，2cosx），

n

=（cos2x+

3

sin2x，cosx），记函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（

B

2

）=1，b=3，c=2，求sinA的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（I）先求出f（x）的解析式，再由周期公式及复合三角函数的性质求单调区间；
（II）由f（

B

2

）=1求出B，再由正弦定理求出sinC，再由sinA=sin（B+C）结合和角公式即可求出sinA的值．

解答： 解：（I）f（x）=

m

•

n

=-

1

2

（cos2x+

3

sin2x）+2cos²x=-

1

2

（cos2x+

3

sin2x）+cos2x+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1
∴f（x）的最小正周期为π
令2kπ＜2x+

π

3

＜2kπ+π，k∈z，解得kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

3

，k∈z
∴f（x）的单调减区间为（kπ-

π

6

，kπ+

π

3

），k∈z
（II）由f（

B

2

）=1，得cos（B+

π

3

）+1=1．即cos（B+

π

3

）=0，
又B是三角形的内角，故B=

π

6

由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

得sinC=

1

3

，又b＞c，故C是锐角
∴cosC=

1-sin2c

=

2 2

3

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2 + 3

6

点评：本题考查正弦定理的应用以及三角恒等变换公式，三角函数的周期公式及单调区间的求法，综合性较强，属于高考中常见的题型