Question

在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且S_△ABC=a²-（b-c）²，则tan

A

2

=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知等式左边利用三角形面积公式化简，左边先利用完全平方公式展开，并利用余弦定理变形，再根据二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间基本关系化简即可求出tan

A

2

．

解答： 解：∵S_△ABC=a²-（b-c）²，S_△ABC=

1

2

bcsinA，2bccosA=b²+c²-a²，
∴

1

2

bcsinA=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=2bc-（b²+c²-a²）=2bc-2bccosA，
整理得：

1

2

sinA=2-2cosA，即sinA=4-4cosA=4（1-cosA），
整理得：2sin

A

2

cos

A

2

=4×2sin²

A

2

，即cos

A

2

=4sin

A

2

，
则tan

A

2

=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．