Question

已知一个圆柱和一个圆锥等底等高，如图，点O为底面的圆心，点P为圆锥的顶点．若圆柱的高等于它的底面直径．
（1）求证：圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等；
（2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：设圆柱的高为h，底面半径为r，圆锥的母线长为l，h=2r，
（1）通过圆锥的任意一条母线与轴OP组成全等的直角三角形，证明即可．
（2）求出圆柱的全面积和圆锥的全面积，即可得到它们的比值．

解答： 解：设圆柱的高为h，底面半径为r，圆锥的母线长为l，h=2r．
（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP，圆锥的任意一条母线与轴OP组成全等的直角三角形，
如图，∠APO为圆柱的母线和圆锥的母线所成的角．…（2分）．
在Rt△AOP中，tan∠APO=

OA

AP

=

1

2

，则∠APO=arctan

1

2

…（4分）
∴，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为arctan

1

2

．…（6分）
（2）h=2r，l=

h2+r2

=

5

r…（8分）
S柱=2πrh+2πr2=6πr2，…（9分）
S锥=πr2+

1

2

l•2πr=(1+

5

)πr…（10分）
故

S柱

S锥

=

6

1+ 5

=

3

2

(

5

-1)．…（12分）

点评：本题考查旋转体的表面积与体积的求法，考查计算能力．