Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

(n+1) n +n n+1

（n∈N^*），其前n项和为S_n，则在数列S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，有理数项的项数为

 

．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：不等式的解法及应用

分析：把a_n=

1

(n+1) n +n n+1

分母有理化，可得a_n=

n

n

-

n+1

n+1

，得到Sn=1-

n+1

n+1

，在数列S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，只有n=3，8，15，…，1935，为有理项．即可得出．

解答： 解：∵a_n=

1

(n+1) n +n n+1

=

(n+1) n -n n+1

n(n+1)

=

n

n

-

n+1

n+1

，
∴Sn=1-

n+1

n+1

，
在数列S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，只有n=3，8，15，…，1935，为有理项．
因此共43项．
故答案为：43．

点评：本题考查了分母有理化、“裂项求和”、有理项等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．