Question

某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10-2sin（

π

12

t+

π

3

），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．
（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（

π

12

t+

π

3

）＜-

1

2

，即

7π

6

≤

π

12

t+

π

3

＜

11π

6

，解得t的范围，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（t）=10-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t=10-2sin（

π

12

t+

π

3

），t∈[0，24），
∴

π

3

≤

π

12

t+

π

3

＜

7π

3

，故当

π

12

t+

π

3

=

3π

2

时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，
当

π

12

t+

π

3

=

π

2

时，即t=2时，函数取得最小值为10-2=8，
故实验室这一天的最大温差为12-8=4℃．
（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10-2sin（

π

12

t+

π

3

），
由10-2sin（

π

12

t+

π

3

）＞11，求得sin（

π

12

t+

π

3

）＜-

1

2

，即 

7π

6

≤

π

12

t+

π

3

＜

11π

6

，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．