Question

已知数列{a_n}满足

1

3

a_n≤a_n+1≤3a_n，n∈N^*，a₁=1．
（1）若a₂=2，a₃=x，a₄=9，求x的取值范围；
（2）若{a_n}是等比数列，且a_m=

1

1000

，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a_n}的公比；
（3）若a₁，a₂，…a₁₀₀成等差数列，求数列a₁，a₂，…a₁₀₀的公差的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得：

1

3

a2≤a3≤3a2，

1

3

a3≤a4≤3a3，代入解出即可；
（2）设公比为q，由已知可得，an=qn-1，由于

1

3

a1≤a2≤3a1，可得

1

3

≤q≤3．而am=qm-1=

1

1000

，可得

1

3

≤q＜1，再利用对数的运算法则和性质即可得出．
（3）设公差为d，由已知可得

1+(n-1)d

3

≤1+(n-1)d≤3[1+（n-2）d]，其中2≤n≤100，即

(2n-1)d≥-2 (2n-5)d≥-2

，解出即可．

解答： 解；（1）由题意可得：

1

3

a2≤a3≤3a2，∴

2

3

≤x≤6；
又

1

3

a3≤a4≤3a3，∴3≤x≤27．
综上可得：3≤x≤6．
（2）设公比为q，由已知可得，an=qn-1，又

1

3

a1≤a2≤3a1，
∴

1

3

≤q≤3．因此am=qm-1=

1

1000

，
∴

1

3

≤q＜1，
∴m=1-log_q1000=1-

1

log1000q

=1-

3

lgq

≥1-

3

lg 1 3

=1+

3

lg3

≈7.28．
∴m的最小值是8，因此q⁷=

1

1000

，
∴q=(

1

1000

)

1

7

=10-

3

7

．
（3）设公差为d，由已知可得

1+(n-1)d

3

≤1+nd≤3[1+（n-1）d]
即

(2n+1)d≥-2 (2n-3)d≥-2

，
令n=1，得-

2

3

≤d≤2．
当2≤n≤99时，不等式即d≥

-2

2n+1

，d≥

-2

2n-3

．
∴d≥

-2

199

．
综上可得：公差d的取值范围是[-

2

199

，2]．

点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．