Question

设函数f（x）=1+（1+a）x-x²-x³，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=1+a-2x-3x²，
由f′（x）=0，得x₁=

-1- 4+3a

3

，x₂=

-1+ 4+3a

3

，x₁＜x₂，
∴由f′（x）＜0得x＜

-1- 4+3a

3

，x＞

-1+ 4+3a

3

；
由f′（x）＞0得

-1- 4+3a

3

＜x＜

-1+ 4+3a

3

；
故f（x）在（-∞，

-1- 4+3a

3

）和（

-1+ 4+3a

3

，+∞）单调递减，
在（

-1- 4+3a

3

，

-1+ 4+3a

3

）上单调递增；

（Ⅱ）∵a＞0，∴x₁＜0，x₂＞0，
①当a≥4时，x₂≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x₂＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x₂]单调递增，在[x₂，1]上单调递减，
因此f（x）在x=x₂=

-1+ 4+3a

3

处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．