Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=λS_n-1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a_n+2-a_n=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a_n}为等差数列？并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_na_n+1=λS_n-1，a_n+1a_n+2=λS_n+1-1，相减即可得出；
（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a_n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a_n+2-a_n=（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）=2d，d=

λ

2

．得到λS_n=

λ2

4

n2+(λ-

λ2

4

)n+2-

λ

2

，根据{a_n}为等差数列的充要条件是

λ≠0 2- λ 2 =0

，解得λ即可．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_na_n+1=λS_n-1，a_n+1a_n+2=λS_n+1-1，
∴a_n+1（a_n+2-a_n）=λa_n+1
∵a_n+1≠0，
∴a_n+2-a_n=λ．
（Ⅱ）解：①当λ=0时，a_na_n+1=-1，假设{a_n}为等差数列，设公差为d．
则a_n+2-a_n=0，∴2d=0，解得d=0，
∴a_n=a_n+1=1，
∴1²=-1，矛盾，因此λ=0时{a_n}不为等差数列．
②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a_n}为等差数列，设公差为d．
则λ=a_n+2-a_n=（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）=2d，
∴d=

λ

2

．
∴an=1+

λ(n-1)

2

，an+1=1+

λn

2

，
∴λS_n=1+[1+

λ(n-1)

2

] [1+

λn

2

]=

λ2

4

n2+(λ-

λ2

4

)n+2-

λ

2

，
根据{a_n}为等差数列的充要条件是

λ≠0 2- λ 2 =0

，解得λ=4．
此时可得Sn=n2，a_n=2n-1．
因此存在λ=4，使得{a_n}为等差数列．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．