Question

（1）证明：当x∈[0，1]时，1-

1

2

x²≤cosx≤1-

1

4

x²；
（2）证明：当a≤2时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤0对x∈[0，1]恒成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）分别构造函数证明左、右不等式，利用导数确定函数的单调性，即可证明；
（2）利用cosx≤1-

1

4

x²，即可证明结论成立．

解答： 证明：（1）f(x)=cosx-1+

1

4

x2，则g(x)=f′(x)=-sinx+

1

2

x，g′(x)=-cosx+

1

2

，
∵0≤x≤1＜

π

3

，∴

1

2

＜cosx≤1，∴g′(x)=-cosx+

1

2

＜0，恒成立
∴g(x)=f′(x)=-sinx+

1

2

x，在[0，1]上递减，
∵0≤x≤1，∴g(x)=-sinx+

1

2

x≤g(0)=0，
∴f(x)=cosx-1+

1

4

x2，在[0，1]上递减，
∴f（x）≤f（0）=0
∴x∈[0，1]时，cosx≤1-

1

4

x2；（4分）
记F(x)=cosx-1+

1

2

x2，则G（x）=F'（x）=-sinx+x，G'（x）=-cosx+1，
∴G'（x）=-cosx+1≥0恒成立，
∴G（x）=F'（x）=-sinx+x，在[0，1]上递增，
∵0≤x≤1∴∴G（x）=-sinx+x≥G（0）=0，
∴F(x)=cosx-1+

1

2

x2，在[0，1]上递增，
∴F（x）≥F（0）=0
∴x∈[0，1]时，cosx≥1-

1

2

x2；
∴x∈[0，1]时，1-

1

2

x2≤cosx≤1-

1

4

x2；（7分）
（2）x∈[0，1]时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤ax+x²+

x3

2

+2（x+2）（1-

x2

4

）-4≤（a+2）x，
∴当a≤2时，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤0对x∈[0，1]恒成立．（14分）

点评：本题考查函数恒成立问题，考查不等式的证明，考查利用导数解决函数的单调性，正确构造函数是关键．