Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），短轴长为2

3

，离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（|k|≤

1

2

）与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

2b=2 3 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出|OP|的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），短轴长为2

3

，离心率为

1

2

，
∴

2b=2 3 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

，
由于点P在椭圆C上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，
从而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，
化简，得4m²=3+4k²，经检验满足（*）式，
又|OP|=

x2+y2

=

4- 3 3+4k2

，
∵|k|≤

1

2

，∴3≤4k²+3≤4，∴

3

4

≤

3

4k2+3

≤1，
∴

3

≤|OP|≤

13

2

，
∴所求|OP|的取值范围是[

3

，

13

2

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段的求值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．