Question

已知函数f（x）=lg（

2x

2+x

+a），其中a为常数，且a≥-2．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）为奇函数，①求a的值；②求函数g（x）=f（x）-lg（m-x）的零点个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由

2x

2+x

+a＞0，可得

(a+2)x+2a

x+2

＞0，分类讨论求得此不等式的解集，可得函数的定义域．
（2）①由于函数f（x）为奇函数，可得f（x）+f（-x）=0，化简可得 （2+a²）x²-4a²=x²-4，可得

(2+a)2=1 4a2=4

，由此求得a的值．
②由以上可得，f（x）=lg

x-2

x+2

，令g（x）=0，可得m=x+

x-2

x+2

，令t=x+2 （t＞4，或 t＜0），可得m+1=t-

4

t

．画出函数y=m+1，和 y=t-

4

t

的图象，数形结合求得这两个函数的图象的交点个数，可得g（x）的零点个数．

解答： 解：（1）由

2x

2+x

+a＞0，
可得

(a+2)x+2a

x+2

＞0，
当a=-2时，不等式即

-4

x+2

＞0，
求得x＜-2，
故函数的定义域为（-∞，-2）．
当a＞-2时，由于-2-（-

2a

a+2

）=

-4

a+2

＜0，∴-2＜-

2a

a+2

，
故不等式的解集为
{x|x＜-2，或 x＞-

2a

a+2

}，
故函数的定义域为{x|x＜-2，或 x＞-

2a

a+2

}．
综上所述，当a=-2时，函数f（x）定义域为{x|x＜-2}；
当a＞-2时，函数f（x）定义域为{x|x＜-2，或 x＞-

2a

a+2

}．
（2）①由于函数f（x）为奇函数，可得f（x）+f（-x）=0，
即lg（

2x

2+x

+a）+lg（

-2x

2-x

+a）=lg[（

2x

2+x

+a）（

-2x

2-x

+a）=0，
∴（

2x

2+x

+a）（

-2x

2-x

+a）=1，化简可得 （2+a²）x²-4a²=x²-4，∴

(2+a)2=1 4a2=4

，求得a=-1．
②由以上可得，f（x）=lg（

2x

2+x

+a）=lg

x-2

x+2

，
∴函数g（x）=f（x）-lg（m-x）=lg

x-2

x+2

-lg（m-x）．
令g（x）=0，可得 lg

x-2

x+2

=lg（m-x），即

x-2

x+2

=m-x，即m=x+

x-2

x+2

 （x＜-2，或 x＞2）．
令t=x+2 （t＞4，或 t＜0），则m=（t-2）+

t-4

t

=t-

4

t

-1，即m+1=t-

4

t

．
画出函数y=m+1，和 y=t-

4

t

的图象，如图所示：
当m+1≤3时，函数y=m+1，和 y=t-

4

t

的图象只有一个交点，函数g（x）仅有一个零点；
当m+1＞3时，函数y=m+1，和 y=t-

4

t

的图象有两个交点，函数g（x）有两个零点．

点评：本题主要考查函数的定义域和奇偶性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．