Question

已知函数f（x）=a（x-1）²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=-

1

4

，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞），f（x）≤x-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=-

1

4

时，f′(x)=-

1

2

x+

1

2

+

1

x

=

-(x-2)(x+1)

2x

，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由题意得a（x-1）²+lnx≤x-1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），则使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=-

1

4

时，f（x）=-

1

4

（x-1）²+lnx，x＞0，
f′(x)=-

1

2

x+

1

2

+

1

x

=

-x2+x+2

2x

=

-(x-2)(x+1)

2x

，
当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；
当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，2），单调减区间是（2，+∞）．
（Ⅱ）由题意得a（x-1）²+lnx≤x-1对x∈[1，+∞）恒成立，
设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），
则使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，
求导，得g′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递减，
g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；
②当a≥

1

2

时，x=

1

2a

≤1，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
∴存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；
③当0＜a＜

1

2

时，x=

1

2a

＞1，则f（x）在[1，

1

2a

]上单调递减，
在[

1

2a

，+∞）单调递增，
则存在

1

a

∈[

1

2a

，+∞），有：
g（

1

a

）=a（

1

a

-1）²+ln

1

a

-

1

a

+1=-lna+a-1＞0，
∴不成立，综上得a≤0．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．