题目内容

已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]，求
（Ⅰ）
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）求函数f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最大值和最小值．
考点：平面向量数量积的运算,向量的模
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）由题意利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得
a
•
b
=cos2x，根据
a
+
b
 的坐标求得|
a
+
b
|
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
，化简可得结果．
（Ⅱ）由以上可得函数f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=-cos2x，再结合x∈[0，
π
2
]，可得它的最大值、最小值．
解答： 解：（Ⅰ）由题意可得
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos（
3x
2
+
x
2
 ）=cos2x，
∵
a
+
b
=（cos
3x
2
+cos
x
2
，sin
3x
2
-sin
x
2
），
∴|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
=
2+2cos2x
=2|cosx|=2cosx．
（Ⅱ）由以上可得函数f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2（cosx-
1
2
）2-
5
2
，
再结合x∈[0，
π
2
]，可得cosx∈[0，1]，它的最大值为0，最小值为-
5
2
．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模，三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知随机变量X的分布列如下表
X12345
P 
1
10
 
3
10
a 
1
10
 
1
10
（1）求a；
（2）求P（X≥4）和P（2≤X＜5）．
已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=-
1
4
，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞），f（x）≤x-1恒成立，求a的取值范围．
（1）求点P（1，2）关于直线x-y-1=0的对称点Q的坐标；
（2）求直线x+3y-1=0关于x-y+1=0的对称直线的方程．
已知函数f（x）=lnx+ax2-3x，且在x=1时函数f（x）取得极值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）若g（x）=x2-2x-1（x＞0），证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方．
已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）最小值和最大值．
已知函数f（x）=-x+log2
1-x
1+x
．
（Ⅰ）求f（
1
2012
）+f（-
1
2012
）的值；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在定义域上的单调性．
在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°，则cosB=
 
．
如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，面PAD⊥面ABCD，四边形BCDE为矩形∠PAD=60°，PB=2
3
，PA=ED=2AE=2．
（1）已知
PF
=λ
PC
（λ∈R），且PA∥面BEF，求λ的值；
（2）求证：CB⊥面PEB，并求点D到面PBC的距离．

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