题目内容

已知曲线C的方程为：4x2+y2-8xcosθ-4ysin2θ-sin22θ=0．
（1）判断这是什么曲线？θ变化时它的形状、大小是否发生变化？
（2）当θ取一切实数时，求曲线C的中心的轨迹．
考点：轨迹方程,椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）4x2+y2-8xcosθ-4ysin2θ-sin22θ=0可化为4（x-cosθ）2+（y-2sin2θ）2=4，即可得出结论；
（2）令x=cosθ，y=2sin2θ，则消去θ可得x2+
y2
4
=1，可得曲线C的中心的轨迹．
解答： 解：（1）4x2+y2-8xcosθ-4ysin2θ-sin22θ=0可化为4（x-cosθ）2+（y-2sin2θ）2=4，
∴它表示椭圆，θ变化时，它的形状、大小不发生变化；
（2）令x=cosθ，y=2sin2θ，则消去θ可得x2+
y2
4
=1
∴曲线C的中心的轨迹是椭圆．
点评：本题考查椭圆方程，考查学生分析解决问题的能力，正确化简方程是关键．
练习册系列答案
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已知等差数列{an}中，a5+a6=a12，a1+a7=10，则a2+a4+a6+…+a100的值等于（　　）
A、1300B、1350
C、2650D、2600
已知随机变量X的分布列如下表
X12345
P 
1
10
 
3
10
a 
1
10
 
1
10
（1）求a；
（2）求P（X≥4）和P（2≤X＜5）．
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）若△ABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆的离心率满足0＜e＜
5
-1
2
，O为坐标原点，求证OA2+OB2＜AB2．
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有
f(a)+f(b)
a+b
＞0成立．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明．
（2）解不等式f（x+
1
2
）＞f（2x-
1
2
）．
（3）若f（x）≤m2-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为
x=tcosα
y=1+tsinα
（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=-
1
4
，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞），f（x）≤x-1恒成立，求a的取值范围．
（1）求点P（1，2）关于直线x-y-1=0的对称点Q的坐标；
（2）求直线x+3y-1=0关于x-y+1=0的对称直线的方程．
在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°，则cosB=
 
．

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