题目内容

已知函数f（x）=x2-ax+xlnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥-6恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的定义域内任取三个实数x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，证明：
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
f(x3)-f(x2)
x3-x2
．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x2-3x+xlnx，通过求导得出函数的单调区间； 
（Ⅱ）由题意得，a≤x+
6
x
+lnx=g（x）恒成立，通过求导得出g（x）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，从而得出a≤g（x）min=g（2），问题解决；
（Ⅲ）记M=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，N=
f(x3)-f(x2)
x3-x2
，F=f′（x2），得出F-M，N-F，考察函数h（t）=t-1-lnt，h′（t）=
t-1
t
，从而F-M＞0且N-F＞0，求出M＜F＜N从而M＜N即
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
f(x3)-f(x2)
x3-x2
得证．
解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x2-3x+xlnx，
∴f′（x）=2x-2+lnx，注意到f′（x）在定义域（0，+∞）单增且f′（1）=0，
∴当x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．   
（Ⅱ）由题，对任意x∈（0，+∞），
f（x）=x2-ax+xlnx≥-6，
即：a≤x+
6
x
+lnx=g（x）恒成立，
由g′（x）=
(x+3)(x-2)
x2
知，g（x）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，
∴a≤g（x）min=g（2）=5+ln2，
∴实数a的取值范围为（-∞，5+ln2]．                      
（Ⅲ）记M=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=x1+x2-a+
x2lnx2-x1lnx1
x2-x1
，
N=
f(x3)-f(x2)
x3-x2
=x3+x2-a+
x3lnx3-x2lnx2
x3-x2
，
F=f′（x2）=2x2-a+lnx2+1，
∴F-M=（x2-x1）+
x1
x2-x1
(
x2
x1
-1-ln
x2
x1
)
N-F=（x3-x2）+
x3
x3-x2
(
x2
x3
-1-ln
x2
x3
)，
考察函数h（t）=t-1-lnt，h′（t）=
t-1
t
，
∴h（t）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增．
∵0＜x1＜x2＜x3，∴
x2
x1
＞1
x2
x3
＜1，
∴
x2
x1
-1-ln
x2
x1
=h(
x2
x1
)＞h（1）=0，
x2
x3
-1-ln
x2
x3
=h(
x2
x3
)＞h（1）=0，
又x2-x1＞0，x3-x2＞0，
∴F-M＞0且N-F＞0，
∴M＜F＜N从而M＜N即
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
f(x3)-f(x2)
x3-x2
得证．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，不等式的证明，是一道综合题．
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π
2
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π
6
个单位长度，所得图象关于点（
π
4
，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α∈[0，
π
2
]且f（
α
2
-
π
12
）=
8
5
，求sin（2α+
π
12
）的值；
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a
=（f（x-
π
6
），1），
b
=（1，mcosx），x∈（0，
π
2
），若
a
•
b
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a+b
＞0成立．
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1
2
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1
2
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1
4
，求函数f（x）的单调区间；
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π
2
）=
1
5
，f（α）=
sin(
α
2
-α)
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•
tan(α-π)
cos(3π-α)
．
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1-x
1+x
．
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1
2012
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1
2012
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