Question

20．已知点P（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+6≥0\\ x≤3\\ x+y+k≥0\end{array}\right.$，且z=2x+4y的最小值为6．
（1）常数k=-3；
（2）$\frac{y-2}{x+7}$的取值范围为[-$\frac{1}{5}$，$\frac{7}{10}$]．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
（2）根据直线斜率的公式进行求解即可．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域，
由z=2x+4y，得y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}$，平移直线y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}$，由图象可知当直线经过点A时，直线y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}$的截距最小，此时z最小为6，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=6}\\{x=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（3，0），
同时A也在直线x+y+k=0上，代入解得k=-3．
（2）$\frac{y-2}{x+7}$的几何意义为区域内的点到定点D（-7，2）的斜率，
由图象知DC的斜率最大，DA的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=9}\end{array}\right.$，即C（3，9）
则DC的斜率k=$\frac{9-2}{3+7}$=$\frac{7}{10}$，
DA的斜率k=$\frac{-2}{3+7}$=-$\frac{1}{5}$，
则$\frac{y-2}{x+7}$的取值范围为[-$\frac{1}{5}$，$\frac{7}{10}$]
故答案为：（1）-3；（2）[-$\frac{1}{5}$，$\frac{7}{10}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键．