Question

10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，$f（x）=\sqrt{x}$
（1）求f（9）和f（-4）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈A时，f（x）∈[-7，3]，求区间A．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义利用代入法即可求f（9）和f（-4）；
（2）根据函数奇偶性的性质利用转化法即可求f（x）的解析式；
（3）当x∈A时，判断函数的单调性，利用函数的单调性由f（x）∈[-7，3]，建立方程即可求区间A．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，$f（x）=\sqrt{x}$，
∴f（9）=3，f（-4）=-f（4）=-2，
（2）若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=$\sqrt{-x}$=-f（x），
即f（x）=-$\sqrt{-x}$，x＜0，
即$\begin{array}{l}f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}，x≥0\\-\sqrt{-x}，x＜0\end{array}\right.\end{array}$，
（3）∵当x≥0时，f（x）是增函数，∴当x≤0时函数f（x）是增函数，
即函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∵f（x）∈[-7，3]，
∴由$\sqrt{x}$=3，即x=9，
由-$\sqrt{-x}$=-7得$\sqrt{-x}$=7，则-x=49，x=-49，
即A=[-49，9]．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的性质，结合转化法，以及函数的单调性的性质是解决本题的关键．