题目内容

9．某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：
B校样本数据统计表
成绩（分）12345678910
人数（个）000912219630
（Ⅰ）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较．
（Ⅱ） 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

分析 （Ⅰ）分别求出A校样本的平均成绩、方差和B校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中．
（Ⅱ）设CA1表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”，CA2表示事件“A校学生计算机成绩为9分”，CB1表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，CB2表示事件“B校学生计算机成绩为8分”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C=CB1CA1∪CB2CA2，由此能求出P（C）．

解答 解：（Ⅰ）从A校样本数据的条形图知：
成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：
6人、15人、21人、12人、3人、3人，
A校样本的平均成绩为：$\overline{{x}_{A}}$=$\frac{4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3}{60}$=6（分），
A校样本的方差为${{S}_{A}}^{2}$=$\frac{1}{60}$[6（4-6）2+15（5-6）2+21（6-6）2+12（7-6）2+3（8-6）2+3（9-6）2]=1.5．
从B校样本数据统计表知：
B校样本的平均成绩为：$\overline{{x}_{B}}$=$\frac{4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3}{60}$=6（分），
B校样本的方差为${{S}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{60}$[9（4-6）2+12（5-6）2+21（6-6）2+9（7-6）2+6（8-6）2+3（9-6）2]=1.8．
∵$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，${{S}_{A}}^{2}＜{{S}_{B}}^{2}$，
∴两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中．
（Ⅱ）设CA1表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”，CA2表示事件“A校学生计算机成绩为9分”，
CB1表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，CB2表示事件“B校学生计算机成绩为8分”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C=CB1CA1∪CB2CA2，
P（C）=P（CB1CA1∪CB2CA2）=P（CB1CA1）+P（CB2CA2）
=P（CB1）P（CA1）+P（CB2）P（CA2），
由所给数据得P（CA1）=$\frac{6}{60}$，P（CA2）=$\frac{3}{60}$，P（CB1）=$\frac{9}{60}$，P（CB2）=$\frac{6}{60}$．
∴P（C）=$\frac{9}{60}×\frac{6}{60}+\frac{6}{60}×\frac{3}{60}=0.02$．

点评 本题考查平均数、方差的求法及应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的应用．

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