Question

若直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），且交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）求证：x₁x₂=

p2

4

；
（2）求∠AOB的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线l：x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²=2p（my+

p

2

），利用韦达定理，即可得出结论；
（2）由题意，AB⊥x轴时，∠AOB最大，此时∠AOB=π-arccos

3

5

，又∠AOB为钝角，故可求∠AOB的取值范围．

解答： （1）证明：设直线l：x=my+

p

2

，
代入y²=2px，可得y²=2p（my+

p

2

），即y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∴4p²x₁x₂=（y₁y₂）²，
∴x₁x₂=

p2

4

；
（2）解：由题意，AB⊥x轴时，∠AOB最大，此时A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），
∴cos∠AOB=

2( p2 4 +p2)-4p2

2•( p2 4 +p2)

=-

3

5

，
∴∠AOB=π-arccos

3

5

，
∵∠AOB为钝角，
∴∠AOB的取值范围为（

π

2

，π-arccos

3

5

）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．