Question

有4个不同的球，把球全部放入4个不同的盒子内，
（1）共有多少种放法？
（2）若恰有1个盒子不放球，有多少种放法？
（3）若恰有2个盒子不放球，有多少种放法？

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：应用题,排列组合

分析：（1）直接利用分步计数原理求解即可．
（2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，通过小球分组然后求解即可．
（3）四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球的不同放法的求法，分为两步来求解，先把四个球分为两组，再取两个盒子，作全排列，由于四个球分两组有两种分法，一种是2，2，另一种是3，1，故此题分为两类来求解，再求出它们的和．

解答： 解：：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：4⁴=256种．
（2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．
选择一个盒子放2个球，有

C

1 4

C

2 4

，选择2个盒子各放一个球的方法数：

A

2 3

，
共有方法数：

C

1 4

C

2 4

A

2 3

=144种放法．
（3）四个球分为两组有两种分法，（2，2），（3，1）
若两组每组有两个球，不同的分法有

C 2 4

A 2 2

=3种，恰有两个盒子不放球的不同放法是3×A₄²=36种，
若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有C₄³=4种恰有两个盒子不放球的不同放法是4×A₄²=48种，
综上恰有两个盒子不放球的不同放法是36+48=84种．

点评：本题考查简单计数原理与排列组合的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，（3）解题的关键是理解事件“四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球”，宜先将四个球分为两组，再放入，分步求不同的放法种数．