题目内容
已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，∠B=2∠C，sinC=
（1）求cosB，cosA的值；
（2）设bc=24，求边a的长．
| ||
| 4 |
（1）求cosB，cosA的值；
（2）设bc=24，求边a的长．
考点：正弦定理
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（1）根据同角的关系式以及两角和差的三角公式即可求cosB，cosA的值；
（2）根据bc=24利用正弦定理建立条件关系即可边a的长．
（2）根据bc=24利用正弦定理建立条件关系即可边a的长．
解答：
解：（1）∵B=2C，∴0＜C＜90°，
∴cosB=cos2C=1-2sin2C=1-2×（
）2=1-
=
∴sinB=
，
∵sinC=
∴cosC=
，
故cosA=cos（180°-B-C）=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC=
×
-
×
=
．
（2）由正弦定理得
=
=
=2R，
即b=2RsinB，c=2RsinC．
∵bc=4R2sinBsinC=4R2
×
=
R2=24，
∴R2=
，即R=
，
∵cosA=
，∴sinA=
，
∴a=2RsinA=2×
×
=5．
∴cosB=cos2C=1-2sin2C=1-2×（
| ||
| 4 |
| 7 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
∴sinB=
3
| ||
| 8 |
∵sinC=
| ||
| 4 |
∴cosC=
| 3 |
| 4 |
故cosA=cos（180°-B-C）=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC=
3
| ||
| 8 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 9 |
| 16 |
（2）由正弦定理得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
即b=2RsinB，c=2RsinC．
∵bc=4R2sinBsinC=4R2
3
| ||
| 8 |
| ||
| 4 |
| 21 |
| 8 |
∴R2=
| 64 |
| 7 |
8
| ||
| 7 |
∵cosA=
| 9 |
| 16 |
5
| ||
| 16 |
∴a=2RsinA=2×
8
| ||
| 7 |
5
| ||
| 16 |
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，考查学生的运算能力，要求熟练掌握相应的公式．
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