Question

已知a=

∫

π 0

|sinx-cosx|dx，则x³（ax+

1

x

）⁷的展开式中的常数项是

 

．（用数字作答）

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用,二项式定理

分析：根据函数的积分公式求出a的值，利用二项展开式的内容即可得到结论．

解答： 解：当0≤x≤

π

4

时，sinx＜cosx，|sinx-cosx|=cosx-sinx，
当

π

4

＜x≤π时，sinx＞cosx，|sinx-cosx|=sinx-cosx，
∴根据函数的积分公式可得a=

∫

π 0

|sinx-cosx|dx=

∫

π 4 0

(cosx-sinx)dx+

∫

π π 4

(sinx-cosx)dx
=（sinx+cosx）|

π 4 0

+（-cosx-sinx）|

π π 4

=

2

2

+

2

2

-1-（-1-

2

2

-

2

2

）=2

2

．
要求x³（ax+

1

x

）⁷的展开式中的常数项，
则只需求出（ax+

1

x

）⁷的展开式中的x^-3项的系数即可，
则展开式的通项公式为C

k 7

(ax)7-k•(

1

x

)k=

C

k 7

a7-k•x7-2k，
由7-2k=-3得k=5，此时对应的系数为

C

5 7

a2=21×（2

2

）²=21×8=168，
故答案为：168

点评：本题主要考查二项展开式的应用，利用积分公式求出a是解决本题的关键，考查学生的运算能力．