Question

菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，且AC∩BD=M，现将三角形BD沿着BD折起形成四面体SBCD，如图所示．
（Ⅰ）当∠SMC为多大时，SM⊥面BCD？并证明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点D到面SBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）当∠SMC=90°时，利用线面垂直的判定定理证明SM⊥面BCD；
（Ⅱ）设点D到面SBC的距离为d，由等体积法可得：V_S-DBC=V_D-SBC，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）当∠SMC=90°时，SM⊥面BCD．
证明：此时SM⊥CM，且由条件SM⊥BD，
CM，BD为面BCD内两条相交直线，所以SM⊥面BCD；
（Ⅱ）设点D到面SBC的距离为d，则
在（Ⅰ）的条件下，有SC=2

6

，而SB=BC=4，
所以三角形SBC的面积为2

15

，
由等体积法可得：V_S-DBC=V_D-SBC，
∴

1

3

•2

15

•d=

1

3

•4

3

•2

3

，
∴d=

4 15

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查等体积法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．