Question

若关于x的不等式x²＜2-丨x-a丨至少有一个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：原不等式为：2-x²＞|x-a|，我们在同一坐标系画出y=2-x²（y＞0）和 y=|x-a|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．

解答： 解：不等式为：2-x²＞|x-a|，且 0＜2-x²．
在同一坐标系画出y=2-x²（y＞0）和 y=|x-a|两个函数图象，
如图示：

将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支和y=-x²+2相切时，
得

y=-x2+2 y=x-a

，
∴x²+x-a-2=0，
∴△=1+4（a+2）=0，解得：a=-

9

4

，
将绝对值函数 y=|x|向右移动，当左支和y=-x²+2相切时，
得

y=-x2+2 y=-x+a

，
∴x²-x+a-2=0，
∴△=1-4（a-2）=0，解得：a=

9

4

，
∴-

9

4

≤a≤

9

4

．

点评：题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2-x²（y＞0）和 y=|x-a|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．