Question

若函数f（x）=ax³+bx²-3x+c为奇函数，且在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若过点A（1，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=ax³+bx²-3x+c为奇函数得f（0）=0且f（-x）=-f（x），可求得c=0，b=0，然后求导由在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减可得f′（1）=0，可求a；（2）先将过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax³+bx²-3x+c为奇函数，可求得函数定义域为R，
则f（0）=0，解得c=0，代入得f（x）=ax³+bx²-3x，
又f（-x）=-f（x），即a（-x）³+b（-x）²-3×（-x）=-ax³+bx²-3x，化简解得b=0，代入得f（x）=ax³-3x，
对函数求导可得，f′（x）=3ax²-3，又由题意函数在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，则x=1时取得极大值，则f′（1）=0即3a-3=0，解得a=1，
综上函数f（x）的解析式为：f（x）=x³-3x；
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x₀，y₀）
则y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
则切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）
将A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0，
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），
令g'（x）=0，x=0或1，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2
由题意有，当且仅当

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点，
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）．

点评：本题主要考查了导数的几何意义：导数在某点处的导数即为改点的切线的斜率，导数的极值存在的条件的应用及利用函数与方程的相互转化求解参数的范围，属于导数知识的综合应用．