题目内容
4．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，-1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x}）$；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．
分析 （1）由题意可得（a+x）2=k（a-x）2，化为（1-k）x2+2a（1+k）x+（1-k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{2a（1+k）=0}\\{（1-k）{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解方程即可判断；
（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a-x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；
（3）由（1，1）和（2，-1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1-x）且f（2+x）=-f（2-x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．
解答 解：（1）由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a-x），可得
（a+x）2=k（a-x）2，即为（1-k）x2+2a（1+k）x+（1-k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{2a（1+k）=0}\\{（1-k）{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{k=1}\end{array}\right.$，故k=1≠0，a存在，
所以f（x）=x2∈M．
（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a-x），
sinacosx+cosasinx=k（sinacosx-cosasinx），
所以（1+k）cosasinx+（1-k）sinacosx=0，
$\sqrt{{k}^{2}+2kcos2a+1}$sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，
即cos2a=-$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$），由于|k+$\frac{1}{k}$|≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），
所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．
其中k=1时，cos2a=-1，a=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z；
k=-1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．
故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+$\frac{π}{2}$，1）和（nπ，-1），n∈Z．
（3）因为（1，1）和（2，-1）都是函数f（x）的“伴随数对”，
所以f（1+x）=f（1-x）且f（2+x）=-f（2-x），于是f（x+4）=f（x），
故函数f（x）是以4为周期的函数．
若0＜x＜1，则1＜2-x＜2，此时f（x）=f（2-x）=-cos（$\frac{π}{2}$x），
若2＜x＜3，则1＜4-x＜2，此时f（x）=-f（4-x）=-cos（$\frac{π}{2}$x），
若3＜x＜4，则0＜4-x＜1，此时f（x）=-f（4-x）=cos（$\frac{π}{2}$x），
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），0＜x＜1}\\{cos（\frac{π}{2}x），1＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2＜x＜3}\\{cos（\frac{π}{2}x），3＜x＜4}\\{0，x=0，1，2，3，4}\end{array}\right.$故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），2014＜x＜2015}\\{cos（\frac{π}{2}x），2015＜x＜2016}\\{0，x=2014，2015，2016}\end{array}\right.$
当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016．
点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查函数的周期性和函数的解析式的求法，函数的零点的求法，考查运算能力，属于中档题．
如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，BC=4，AA1=2，E、F分别是DD1，AA1的中点．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1A=1，AD=1，AB=$\sqrt{2}$，则体对角线AC1与平面ABCD所成角的大小为30°．
| A． | {2，3} | B． | {0，1，2} | C． | {1，2，3} | D． | {0，1} |
如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．