Question

13．（普通中学做）已知数列{a_n}为等差数列，a₃=3，a₇=7，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项、公差，由此能求出{a_n}的通项公式，由数列{b_n}的前n项和S_n=2b_n-2，得{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，a₃=3，a₇=7，设公差为d．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{{a}_{1}+6d=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，n∈N^*．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2，
∴b₁=S₁=2b₁-2，解得b₁=2，
当n≥2时，由S_n=2b_n-2及S_n-1=2b_n-1-2，
两式相减，得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ．（n∈N^*）．
（2）∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．