Question

16．如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．
（1）求证：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出SA⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥AE，再由AE⊥SC，能证明DE⊥SC．
（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，AB∩SA=A，
∴BC⊥平面SAB．
∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE．
∵AE⊥SB，SB∩BC=B，∴AE⊥平面SBC，
∵SC?平面SBC，∴AE⊥SC，
又∵AD⊥SC，AD∩AE=A，
∴SC⊥平面ADE，DE?平面SBC，
∴DE⊥SC．
解：（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），
设D（a，b，c），$\overrightarrow{SD}=λ\overrightarrow{SC}$，则（a-1，b，c-1）=（-λ，λ，-λ），∴D（1-λ，λ，1-λ），
∴$\overrightarrow{SC}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-λ，λ，1-λ），
∵点A在SC上的射影D，∴$\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{AD}$=λ+λ-1+λ=0，解得$λ=\frac{1}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$），
设直线AD与平面ABC所成角为θ，平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{2}{3}|}{1×\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线AD与平面ABC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．