Question

12．如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，BC=4，AA₁=2，E、F分别是DD₁，AA₁的中点．
（I）证明：EF∥平面B₁C₁CB；
（Ⅱ）证明：平面A₁BC₁⊥平面B₁C₁EF；
（Ⅲ）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由C₁B₁∥A₁D₁证明C₁B₁∥平面ADD₁A₁，再由线面平行的性质定理得出C₁B₁∥EF，证出EF∥A₁D₁．
（Ⅱ）设A₁B∩B₁F=H，连C₁H，推导出${A_1}B⊥B_1^{\;}F$，BC₁⊥BB₁，B₁C₁⊥A₁B₁，由此能证明平面A₁BC₁⊥平面B₁C₁EF．
（Ⅲ）设BA₁与B₁F交点为H，连接C₁H，由（1）知BA₁⊥平面B₁C₁EF，所以∠BC₁H是BC₁与平面B₁C₁EF所成的角．在RT△BHC₁中求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵E，F分别是DD₁，AA₁的中点，
∴EF∥AD，
又AD∥BC，EF?平面，且BC?平面BC₁CB，
∴EF∥平面B₁C₁CB．
（Ⅱ）设A₁B∩B₁F=H，连C₁H，在矩形ABB₁A₁中，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2，
∴$\frac{AB}{{{A_1}F}}=\frac{{A{A_1}}}{{{A_1}B}}$，Rt△A₁B₁F∽$Rt△A_1^{\;}AB$，∴${A_1}B⊥B_1^{\;}F$，
又BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴BC₁⊥BB₁，
又AD∥BC，AD⊥AB，∴B₁C₁⊥A₁B₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，A₁B⊥B₁C₁，∴A₁B⊥平面B₁C₁EF，
又A₁B?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面B₁C₁EF．
解：（Ⅲ）设BA₁与B₁F交点为H，连接C₁H，
由（1）知BA₁⊥平面B₁C₁EF，所以∠BC₁H是BC₁与平面B₁C₁EF所成的角．
在矩形AA₁B₁B中，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2，得BH=$\frac{4}{\sqrt{6}}$，
在RT△BHC₁中，BC₁=2$\sqrt{5}$，sin∠BC₁H=$\frac{BH}{B{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$，
所以BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值是$\frac{{\sqrt{30}}}{15}$．

点评 本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力，是中档题．