Question

已知平面内曲线C上的动点到定点（

2

，0）和直线x=2

2

的比等于

2

2

（Ⅰ）求该曲线C的方程；
（Ⅱ）设动点P满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是曲线C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，问：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设曲线C上的动点P（x，y），利用两点间的距离公式和题意列出方程，化简后即可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ），由直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

得：x₁x₂+2y₁y₂=0，由向量的坐标运算、向量相等得到 x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，把M、N代入椭圆方程化简，结合式子的特点化简x²+2y²，得到点P的轨迹方程，根据椭圆的定义进行判断即可．

解答： 解：（Ⅰ）设曲线C上的动点P（x，y），
由题意得：

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

，化简得

x2

4

+

y2

2

=1，
所以曲线C的方程是

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ），
∵直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，所以x₁x₂+2y₁y₂=0，①
∵动点P满足

OP

=

OM

+2

ON

，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂  ），则x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M、N是椭圆上的点，∴x₁²+2y₁²-4=0，x₂²+2y₂²-4=0．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ），
把①代入上式得：x²+2y²=20，即

x2

20

+

y2

10

=1，
所以点P是椭圆

x2

20

+

y2

10

=1上的点，
因为椭圆

x2

20

+

y2

10

=1的两个焦点为：F₁（-

10

，0）、F₂（

10

，0），
所以|PF₁|+|PF₂|=2

20

=4

5

为定值，
故存在两个定点F₁（-

10

，0）、F₂（

10

，0），使得|PF₁|+|PF₂|为定值．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，椭圆的定义，两个向量坐标形式的运算，解题时要认真审题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．