Question

若4a²-3b²=12（a，b∈R），则|2a-b|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的参数方程,有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：利用双曲线的参数方程转化为|2a-b|=|2

3

secθ-2tanθ|=|

2 3 -sinθ

cosθ

|，利用斜率计算公式、直线与圆的相切的性质即可得出．

解答： 解：∵4a²-3b²=12，∴

a2

3

-

b2

4

=1，
设a=

3

secθ，b=2tanθ，
∴|2a-b|=|2

3

secθ-2tanθ|=|

2 3 -sinθ

cosθ

|，
令k=

sinθ-2 3

cosθ-0

，表示过两点P（cosθ，sinθ），Q(0，2

3

)．
而点P的轨迹是圆：x²+y²=1．
∴

2 3

1+k2

≤1，解得k≤-

11

或k≥

11

．
∴|2a-b|的最小值是

11

．
故答案为：

11

．

点评：本题考查了双曲线的参数方程、斜率计算公式、直线与圆的相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．