Question

已知等差数列{a_n}的前项n和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求{S_n}的通项公式；
（3）求S_n取得最小值时n的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁-1=-15，a_n-1=

5

6

(an-1-1)，由此能证明{a_n-1}是首项为-15，公比为

5

6

的等比数列．
（2）由（1）得an-1=-15•(

5

6

)n-1，由此能求出{S_n}的通项公式．
（3）由S_n+1＞S_n，得n+1+75•(

5

6

)n-90＞n+75•（

5

6

）^n-1-90，由此能求出S_n取得最小值时n的值为15．

解答： （1）证明：当n=1时，a₁=S₁=1-5a₁-85
解得a₁=-14，则a₁-1=-15
当n≥2时，S_n-1=（n-1）-5a_n-1-85
∴a_n=S_n-S_n-1=1-5a_n+5a_n-1
∴6a_n=5a_n-1+1，即a_n-1=

5

6

(an-1-1)，
∴{a_n-1}是首项为-15，公比为

5

6

的等比数列．
（2）解：由（1）得an-1=-15•(

5

6

)n-1，
∴Sn=n-5[1-15•(

5

6

)n-1]-85=n+75•(

5

6

)n-1-90．
（3）解：由S_n+1＞S_n，得n+1+75•(

5

6

)n-90＞n+75•（

5

6

）^n-1-90，
即15•(

5

6

)n＜1，解得n＞log

5

6

1

15

≈14.85，
∴S_n取得最小值时n的值为15．

点评：本题考查{a_n-1}是等比数列的证明，考查{S_n}的通项公式的求法，考查S_n取得最小值时n的值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．