Question

对任意实数组x₁，x₂，…，x_n，记它们中最小的数为f（x₁，x₂，…，x_n），给出下述结论：
①函数y=f（4x，2-3x）的图象为一条直线；
②函数y=f（x，2-x）的最大值等于1；
③函数y=f（x²+2x，x²-2x）一定为偶函数；
④对a＞0，b＞0，f（a，b，

1

a2+b2

）的最大值为

3	1 2

．
其中，正确命题的序号有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①根据最小数求出函数式，即可判断图象；②求出函数式，即可得到最大值；③求出函数式，用分段表示，合并成f（x）=x²-2|x|，即可判断奇偶性；④由最小数的定义得到故f（a，b，

1

a2+b2

）≤

3	ab• 1 a2+b2

，再由基本不等式即可得到最大值，注意等号成立的条件．

解答： 解：①f（4x，2-3x）=

4x，x≤ 2 7 2-3x，x＞ 2 7

，的图象为折线，故①是错误的；
②f（x，2-x）=

x，x≤1 2-x，x＞1

的最大值为1，故②正确；
③函数y=f（x²+2x，x²-2x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

，故函数f（x）=x²-2|x|，f（-x）=f（x），即f（x）是偶函数，故③正确；
对④，由于f（a，b，

1

a2+b2

）≤a，f（a，b，

1

a2+b2

）≤b，f（a，b，

1

a2+b2

）≤

1

a2+b2

，
故f（a，b，

1

a2+b2

）≤

3	ab• 1 a2+b2

≤

3	ab• 1 2 • 1 ab

=

3	1 2

，
当且仅当a=b=

1

a2+b2

，即a=b=

3	1 2

时取等号，故④也正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查分段函数的解析式的求法，以及图象和性质，考查函数的最值和奇偶性，以及基本不等式的运用，注意等号成立的条件．