Question

7．己知三棱锥A-BCO，OA，OB，OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在底面BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的O点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（　　）

• A． $\frac{5π}{2}$
• B． $\frac{5π}{4}$
• C． $\frac{3+π}{2}$
• D． 3+π

Answer 1

分析 由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，即MN的中点P的轨迹与三棱锥的O点所在的三个面所围成的几何体为该球体的$\frac{1}{8}$，进而利用圆的面积公式及球体的表面积公式即可计算得解．

解答 解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），
由空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，
则MN的中点P的轨迹与三棱锥的O点所在的三个面所围成的几何体为该球体的$\frac{1}{8}$，
即：S=$\frac{1}{8}×4π×{1}^{2}$+$\frac{1}{4}$π×1²×3=$\frac{5π}{4}$．
故选：B．

点评 此题考查了学生的空间想象能力，还考查了球体，三棱锥的面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．