Question

17．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆${[{x-（e+\frac{1}{e}）}]^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$上任意一点，则线段PQ长度的最小值为（　　）

• A． $\frac{{e-\sqrt{{e^2}-1}}}{e}$
• B． $\frac{{2\sqrt{{e^2}+1}-e}}{2e}$
• C． $\frac{{\sqrt{{e^2}+1}-e}}{2e}$
• D． $e+\frac{1}{e}-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由圆的对称性可得只需考虑圆心C（e+$\frac{1}{e}$，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得lnm+m²-（e+$\frac{1}{e}$）m=0，由g（x）=lnx+x²-（e+$\frac{1}{e}$）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值

解答 解：由圆的对称性可得只需考虑圆心C（e+$\frac{1}{e}$，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．
设f（x）图象上一点（m，lnm），
由f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，即有切线的斜率为k=$\frac{1}{m}$，
可得$\frac{lnm-0}{m-（e+\frac{1}{e}）}$=-m，
即有lnm+m²-（e+$\frac{1}{e}$）m=0，
由g（x）=lnx+x²-（e+$\frac{1}{e}$）x，可得g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-（e+$\frac{1}{e}$），
当2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增．
又g（e）=lne+e²-（e+$\frac{1}{e}$）•e=0，
可得x=e处点P（e，1）到点Q的距离最小，且为$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$，
则线段PQ的长度的最小值为$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{{e}^{2}+1}-e}{2e}$．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．