Question

已知函数f（x）=sin

π

2

x，任取t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M_t，最小值为m_t，h（t）=M_t-m_t，则函数h（t）的值域为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用正弦函数的周期公式可得其周期T=4，区间[t，t+1]的长度为

1

4

T，利用正弦函数的图象与性质，可求得函数h（t）=M_t-m_t，的值域．

解答： 解：∵f（x）=sin

π

2

x，
∴其周期T=

2π

π 2

=4，区间[t，t+1]的长度为

1

4

T，
又f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M_t，最小值为m_t，

由正弦函数的图象与性质可知，当x∈[4k+

1

2

，4k+

3

2

]时，h（t）=M_t-m_t，取得最小值1-

2

2

；
当x∈[4k+

3

2

，4k+

5

2

]时，h（t）=M_t-m_t取得最大值

2

2

-（-

2

2

）=

2

；
∴函数h（t）的值域为[1-

2

2

，

2

]．
故答案为：[1-

2

2

，

2

]．

点评：本题考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．