Question

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M(0，

1

2

)的距离比点P到x轴的距离大

1

2

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|=2

6

，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）解法一：过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=

1

2

，利用两点之间的距离公式即可得出．
解法二：由于点P到定点M(0，

1

2

)的距离比点P到x轴的距离大

1

2

，可知：点P到定点M(0，

1

2

)的距离与P到直线y=-

1

2

的距离相等．利用抛物线的定义即可得出．
（2）把y=kx+1与抛物线的方程联立可得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长|AB|即可解出k．

解答： 解：（1）解法一：过P作x轴的垂线且垂足为N，
由题意可知|PM|-|PN|=

1

2

，
而y≥0，∴|PN|=y，∴

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

．
化简得x²=2y（y≥0）为所求点P的轨迹方程．
解法二：∵点P到定点M(0，

1

2

)的距离比点P到x轴的距离大

1

2

．
∴点P到定点M(0，

1

2

)的距离与P到直线y=-

1

2

的距离相等．
可知：点P的轨迹是抛物线，点M为焦点，直线y=-

1

2

为准线．
∴x²=-2y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2．
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

，
∴k⁴+3k²-4=0，而k²≥0，
解得k²=1．
∴k=±1．

点评：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．