Question

10．（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}≥8$；
（Ⅱ）解不等式：|x-1|+|x+2|≥5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论；（Ⅱ）通过讨论各个区间上的x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{a+b}{ab}$=2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2（ $\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$）
=2（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b时，取等号），
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}≥8$；
（Ⅱ）解：x≥1时，x-1+x+2≥5，解得：x≥2，
-2＜x＜1时，1-x+x+2≥5，不成立，
x≤-2时，1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，
综上，不等式的解集为：（-∞，-3]∪[2，+∞）．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用以及解绝对值不等式问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．