Question

5．已知数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=2，S_n+1=S_n+（n+1）（$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=3（$\frac{{a}_{n}}{n}$+1），可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求通项；
（2）求出b_n=a_n+n=n（3ⁿ-1）+n=n•3ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=2，S_n+1=S_n+（n+1）（$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2），
可得S_n+1-S_n=（n+1）（$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2），
即为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{3}{n}{a}_{n}$+2，
即有$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=$\frac{3}{n}{a}_{n}$+3=3（$\frac{{a}_{n}}{n}$+1），
可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
即有$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=3ⁿ，
即a_n=n（3ⁿ-1），n∈N*；
（2）b_n=a_n+n=n（3ⁿ-1）+n=n•3ⁿ，
前n项和T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减可得-2T_n=3+3²+3³+…+3^n-1+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造数列法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．