Question

15．如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点O为圆心的单位圆O与x正半轴的交点，在圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形AOB的弧AB上任取一点 P，作 PN⊥OA于N，连结PO，记∠PON=θ．
（1）设△PON的面积为y，使y取得最大值时的点P记为E，点N记为F，求此时$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的值；
（2）求k=a|$\overrightarrow{PN}$|•|$\overrightarrow{ON}$|+$\sqrt{2}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OE}$（a∈R，E 是在（1）条件下的点 E）的值域．

Answer 1

分析 （1）用θ表示出PN，ON，得出y关于θ的函数，利用正弦函数的性质得出y最大时对应的θ值，从而求出E，F的坐标，再计算$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$；
（2）设sinθ+cosθ=t，得出k关于t的函数，讨论a的取值与函数单调性，得出k的值域．

解答 解：（1）ON=cosθ，PN=sinθ，
∴y=$\frac{1}{2}$cosθsinθ=$\frac{1}{4}$sin2θ，
∵0$＜θ≤\frac{π}{3}$，
∴当$θ=\frac{π}{4}$时，y取得最大值，此时E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$．
（2）$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），
∴k=asinθcosθ+sinθ+cosθ，
令sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）=t，则sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵0$＜θ≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{4}＜$$θ+\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴1＜t$≤\sqrt{2}$，
∴k=a•$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{a}{2}{t}^{2}+t-\frac{a}{2}$，
令f（t）=$\frac{a}{2}{t}^{2}+t-\frac{a}{2}$，
①若a=0，则f（t）=t，∴f（t）的值域为（1，$\sqrt{2}$]；
②若a＞0，则f（t）的对称轴为直线x=-$\frac{1}{a}$＜0，
∴f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
∴f（1）＜f（t）≤f（$\sqrt{2}$），即f（t）的值域为（1，$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$]；
③若a＜0，则f（t）的图象开口向下，
若-$\frac{1}{a}$≤1，即a≤-1时，f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上单调递减，
∴f（t）的值域为[$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$，1）；
若-$\frac{1}{a}$≥$\sqrt{2}$，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜0时，f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
∴f（t）的值域为（1，$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$]；
若1＜-$\frac{1}{a}$$＜\sqrt{2}$，即-1$＜a＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上先增后减，
∴f（t）的最大值为f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{-{a}^{2}-1}{2a}$，
若1$＜-\frac{1}{a}$＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，即-1＜a＜2-2$\sqrt{2}$时，则f（t）的最小值为f（$\sqrt{2}$）=$\frac{a}{2}+\sqrt{2}$，
若$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$≤-$\frac{1}{a}$$＜\sqrt{2}$，即2-2$\sqrt{2}$≤a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$则f（t）的最小值为f（1）=1，
综上，当a=0时，f（t）的值域为（1，$\sqrt{2}$]；
当a≤-1时，k的值域是[$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$，1）；
当a＞-$\frac{\sqrt{2}}{2}$且a≠0时，k的值域是（1，$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$]；
-1＜a＜2-2$\sqrt{2}$时，k的值域是[$\frac{a}{2}+\sqrt{2}$，$\frac{-{a}^{2}-1}{2a}$]；
当2-2$\sqrt{2}$≤a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，k的值域是（1，$\frac{-{a}^{2}-1}{2a}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的单调性与值域计算，属于中档题．