Question

19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，$b=2\sqrt{3}$，$B=\frac{2π}{3}$．
（1）若a=2，求角C；
（2）若D为AC的中点，$BD=\sqrt{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，代入可得：$sinA=\frac{1}{2}$，根据a＜b，可得$A=\frac{π}{6}$，再利用三角形内角和定理即可得出．
（2）利用余弦定理可得：$-\frac{1}{2}=\frac{{{a^2}+{c^2}-12}}{2ac}$，化为a²+c²+ac=12．由于∠ADB+∠CDB=π，可得cos∠ADB+cos∠CDB=0，再利用余弦定理化简即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，
所以$sinA=\frac{1}{2}$，又由于a＜b，所以$A=\frac{π}{6}$，
由于$B=\frac{2π}{3}$，所以$C=\frac{π}{6}$．
（2）在△ABC中，由余弦定理
得$-\frac{1}{2}=\frac{{{a^2}+{c^2}-12}}{2ac}$，即a²+c²+ac=12．①
又由于∠ADB+∠CDB=π，故而cos∠ADB+cos∠CDB=0，
即：$\frac{{2+3-{a^2}}}{{2\sqrt{6}}}+\frac{{2+3-{c^2}}}{{2\sqrt{6}}}=0$，所以a²+c²=10，②
解①②得：ac=2．
故而（a+c）²=a²+c²+2ac=14，即$a+c=\sqrt{14}$，
所以△ABC的周长为$a+b+c=2\sqrt{3}+\sqrt{14}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．