Question

12．已知函数f（x）=$\frac{2}{x}$+alnx-2，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直．
（1）求实数a的值；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R），若函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围；
（3）若不等式π^f（x）＞（$\frac{1}{π}$）^1+x-lnx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，得 f′（ 1）=-1，解得a，?
（2）g（ x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x-2-b（ x＞0），g′（ x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，可得当 x=1 时，g（ x） 取 得 极 小 值 g（ 1）；可得函 数 g（ x） 在 区 间[e^-1，e]上 有 两 个 零 点，$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e}）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（e）≥0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{2e+\frac{1}{e}-3-b≥0}\\{1-b＜0}\\{\frac{2}{e}+e-1-b≥0}\end{array}\right.$，解得实数b的取值范围；
 （3）π ^f（x）＞（$\frac{1}{π}$）^t+x-lnx 在|t|≤2 时 恒 成 立，⇒f（ x）＞-t-x+lnx，即t+x²-2x+2＞0 在|t|≤2 时 恒 成 立，令 g（ t）=xt+x²-2x+2，x＞0，只 需 g（-2）＞0，即可

解答 解：（1）函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 （ 0，+∞），f′（ x）=$\frac{-2}{{x}^{2}}+\frac{a}{x}$．
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+3垂直，
∴f′（ 1）=-2+a=-1，解 得 a=1．?
（2）g（ x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x-2-b（ x＞0），g′（ x）=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，
 由 g′（ x）＞0，得 x＞1，由 g′（ x）＜0，得 0＜x＜1?，
∴g（ x） 的 单 调 递 增 区 间 是 （ 1，+∞），单 调 递 减 区 间 为 （ 0，1），
 当 x=1 时，g（ x） 取 得 极 小 值 g（ 1），?
∵函 数 g（ x） 在 区 间[e^-1，e]上 有 两 个 零 点，∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e}）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（e）≥0}\end{array}\right.$
⇒$\left\{\begin{array}{l}{2e+\frac{1}{e}-3-b≥0}\\{1-b＜0}\\{\frac{2}{e}+e-1-b≥0}\end{array}\right.$，解得1$＜b≤\frac{2}{e}+e-1$，
∴b 的 取 值 范 围 是 （ 1，$\frac{2}{e}$+e-1]；
（3）∵π ^f（x）＞（$\frac{1}{π}$）^t+x-lnx 在|t|≤2 时 恒 成 立，∴f（ x）＞-t-x+lnx，
即xt+x²-2x+2＞0 在|t|≤2 时 恒 成 立，令 g（ t）=xt+x²-2x+2，（x＞0），
∴只 需 g（-2）＞0，即 x²-4x+2＞0 
解 得x∈（ 0，2-$\sqrt{2}$）∪（2+$\sqrt{2}$，+∞）

点评 本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．